Родился 22 марта 1959 года в Калужской области.
Домников А.И. окончил Второй Московский ордена Ленина государственный медицинский институт имени Н.И. Пирогова по специальности «Педиатрия» и Российскую академию государственной службы при Президенте Российской Федерации по специальности «Государственное и муниципальное управление».
В 2011 году прошёл профессиональную переподготовку в Академии труда и социальных отношений по «Менеджмент общественной организации». Имеет ученую степень кандидата медицинских наук.
Более 20 лет трудовой деятельности Домникова А.И. связаны с практическим здравоохранением. С 1985 по 1996 годы он работал на различных должностях в МОНИКИ имени М.Ф. Владимирского, в 1996-1997 годы – главный педиатр ГУЗАМО, с 1997 года по 2006 год – руководитель управления здравоохранением Мытищинского муниципального района Московской области, с 2006 года по 2021 год – председатель Московской областной организации Профсоюза работников здравоохранения РФ.
Трудовая и профсоюзная деятельность Домникова А.И. отмечена медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени, Почетной грамотой Президента Российской Федерации, многочисленными наградами Министерства здравоохранения Российской Федерации, Федерации Независимых Профсоюзов России, Профсоюза работников здравоохранения РФ, Губернатора Московской области, Министерства здравоохранения Московской области, Московского областного объединения организаций профсоюзов.
Домникову А.И. присвоено почётное звание «Заслуженный работник здравоохранения Российской Федерации» и почётное звание «Заслуженный работник здравоохранения Московской области».
